चाहे आप अपनी अलमारी में कपड़ों को रंगों के हिसाब से लगा रहे हों, रसोई में बर्तनों को व्यवस्थित कर रहे हों, या अपनी किताबों को विषय के अनुसार छाँट रहे हों, हम इंसान स्वाभाविक रूप से चीजों को समूहों में व्यवस्थित करते हैं। यह हमारी दुनिया को समझने का एक बुनियादी तरीका है। लेकिन क्या आप जानते हैं कि इस साधारण सी आदत का एक शक्तिशाली गणितीय समकक्ष है?

इस साधारण सी आदत का एक शक्तिशाली गणितीय समकक्ष है जिसे ‘सेट थ्योरी’ (Set Theory) या समुच्चय सिद्धांत कहा जाता है—और यह सिर्फ गणितज्ञों के लिए नहीं है। इस लेख में, हम सेट थ्योरी से 5 आश्चर्यजनक और प्रभावशाली विचारों को उजागर करेंगे जो हमारे दैनिक जीवन में मौजूद हैं और हमारे सोचने के तरीके को दर्शाते हैं।

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1. आप इसे जाने बिना भी हर दिन सेट थ्योरी का उपयोग करते हैं

सेट थ्योरी का मूल विचार समान वस्तुओं को एक साथ समूहित करना है, और यह कुछ ऐसा है जो हम सभी सहज रूप से करते हैं। गणित ने बस इस विचार को एक नाम और कुछ नियम दिए हैं।

• रसोईघर (The Kitchen): एक अच्छी तरह से व्यवस्थित रसोई सेट थ्योरी का एक आदर्श उदाहरण है। प्लेटों को कटोरियों और कपों से अलग रखा जाता है। समान बर्तनों के सेट अलग-अलग रखे जाते हैं, ठीक उसी तरह जैसे सेट थ्योरी समान तत्वों को एक साथ समूहित करती है।
• स्कूल बैग (The School Bag): बच्चे अपने स्कूल बैग को कैसे व्यवस्थित करते हैं, इस पर विचार करें। आमतौर पर नोटबुक और पाठ्यपुस्तकों के लिए अलग-अलग हिस्से होते हैं, जो प्रभावी रूप से दो अलग-अलग सेट बनाते हैं ताकि चीजों को ढूंढना आसान हो सके।

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2. गणित में, ‘पसंदीदा फिल्मों का संग्रह’ एक सेट नहीं है

यहाँ एक आश्चर्यजनक मोड़ है। हमारे दैनिक जीवन में, हम किसी भी समूह को “संग्रह” कह सकते हैं, लेकिन गणित में एक सख्त नियम है: एक सेट एक “सुपरिभाषित” (well-defined) संग्रह होना चाहिए।

“सुपरिभाषित” का मतलब है कि किसी समूह से संबंधित होने के मानदंड वस्तुनिष्ठ और स्पष्ट होने चाहिए, जिसमें राय के लिए कोई जगह न हो। यह किसी के लिए भी स्पष्ट होना चाहिए कि कोई वस्तु संग्रह का हिस्सा है या नहीं।

आइए कुछ उदाहरण देखें:

• सुपरिभाषित (ये सेट हैं): “सप्ताह में दिनों का संग्रह,” “12 के गुणनखंड,” “MANGO शब्द के सभी अक्षर।” इन सभी में स्पष्ट, तथ्यात्मक मानदंड हैं।
• सुपरिभाषित नहीं (ये सेट नहीं हैं): “3 पसंदीदा फिल्मों का संग्रह,” “दुनिया के 2 सर्वश्रेष्ठ क्रिकेट खिलाड़ी,” “कक्षा VI के सभी बुद्धिमान बच्चों का संग्रह।” ये संग्रह व्यक्तिपरक हैं; एक व्यक्ति की पसंदीदा फिल्में दूसरे से भिन्न होंगी।

यह सटीकता गणित में महत्वपूर्ण है और यह दिखाती है कि कैसे गणित अस्पष्टता को दूर करने के लिए सटीक भाषा का उपयोग करता है, जो हमारे “समूह” या “संग्रह” जैसे शब्दों के आकस्मिक उपयोग से बहुत अलग है।

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3. एक सेट के लिए, क्रम और दोहराव मायने नहीं रखते

यहाँ दो नियम हैं जो हमारे सामान्य ज्ञान के विपरीत लग सकते हैं लेकिन सेट थ्योरी के लिए मौलिक हैं।

• गुण 1: क्रम कोई मायने नहीं रखता। तत्वों के क्रम को बदलने से सेट नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, सेट A = {1, 2, 3, 4, 5} वही है जो सेट A = {2, 4, 3, 1, 5} है। महत्वपूर्ण यह है कि कौन से तत्व मौजूद हैं, न कि वे किस क्रम में सूचीबद्ध हैं।
• गुण 2: दोहराव को नजरअंदाज किया जाता है। यदि किसी तत्व को दोहराया जाता है, तो उसे केवल एक बार गिना जाता है। सेट वही रहता है। उदाहरण के लिए:
  • {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4} वास्तव में सिर्फ {1, 2, 3, 4} है।
  • ‘GOOGLE’ शब्द में अक्षरों का सेट {G, O, L, E} है।

यह नियम सुनिश्चित करता है कि जब हम ‘स्वरों के सेट’ (set of vowels) के बारे में बात करते हैं, तो हम सभी उन्हीं पाँच अद्वितीय अक्षरों {a, e, i, o, u} की बात कर रहे होते हैं, चाहे हम उन्हें किसी भी क्रम में लिखें या वे किसी वाक्य में कितनी बार आएँ। यह गणित को सटीक बनाता है।

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4. ‘कुछ नहीं’ का भी एक सेट होता है (और यह बहुत महत्वपूर्ण है)

यदि मैं आपसे 1 और 2 के बीच की सभी प्राकृतिक संख्याओं को इकट्ठा करने के लिए कहूँ, तो आप क्या पाएंगे? कुछ भी तो नहीं। गणित में, “कुछ नहीं” के इस विचार का अपना एक सेट होता है, और इसे रिक्त समुच्चय (Empty Set) या शून्य समुच्चय (Null or Void Set) कहा जाता है।

इसे एक ऐसे सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई तत्व नहीं है। इसे φ या {} द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, A = {x | x एक प्राकृतिक संख्या है, 1 < x < 2} एक रिक्त समुच्चय है।

दिलचस्प बात यह है कि “रिक्त समुच्चय भी एक परिमित समुच्चय (finite set) है।” ठीक उसी तरह जैसे अंकगणित के लिए शून्य (zero) का आविष्कार महत्वपूर्ण था—कल्पना कीजिए कि बिना ‘0’ के ’10’ कैसे लिखेंगे?—उसी तरह तर्क और उच्च गणित के लिए रिक्त समुच्चय महत्वपूर्ण है। यह उन सवालों का गणितीय उत्तर है जिनका कोई मान्य परिणाम नहीं होता।

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5. गणितीय भाषा में, ब्रह्मांड में सब कुछ एक ‘वस्तु’ है

सेट थ्योरी इतनी सार्वभौमिक और शक्तिशाली क्यों है, इसकी नींव एक बहुत ही सरल लेकिन गहन परिभाषा से शुरू होती है।

हमारी गणितीय भाषा में, इस ब्रह्मांड में सब कुछ, चाहे वह सजीव हो या निर्जीव, ‘वस्तु’ (object) कहलाता है।

यह विचार सेट थ्योरी का प्रारंभिक बिंदु है। हर चीज को “वस्तु” के रूप में परिभाषित करके, गणितज्ञ इन वस्तुओं को साझा, सुपरिभाषित गुणों के आधार पर सेट में समूहित कर सकते हैं। यह सरल अवधारणा संख्याओं, आकृतियों और यहां तक कि अन्य सेटों के बारे में अधिक जटिल गणितीय विचारों के निर्माण के लिए आधार बनाती है। यही वह आधार है जो गणित को इतना शक्तिशाली बनाता है—यह किसी भी चीज़ को ले सकता है, उसे एक ‘वस्तु’ कह सकता है, और फिर उस पर तर्क और संरचना लागू कर सकता है।

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निष्कर्ष

सेट थ्योरी केवल गणितज्ञों के लिए एक अमूर्त विषय नहीं है; यह सोचने का एक तरीका है जिसका हम हर दिन उपयोग करते हैं। यह आश्चर्यजनक रूप से सरल नियमों पर बनाया गया है—कि समूह सुपरिभाषित होने चाहिए, कि क्रम और दोहराव मायने नहीं रखते, और यह कि “कुछ नहीं” भी कुछ है। अगली बार जब आप अपनी रसोई को व्यवस्थित करें या अपने बैग को पैक करें, तो याद रखें: आप केवल सफाई नहीं कर रहे हैं, आप गणित कर रहे हैं।

अब जब आप जानते हैं कि ‘सुपरिभाषित’ क्या है, तो आप अपने आस-पास और कौन से कलेक्शन देखते हैं जो वास्तव में गणितीय सेट हैं?